TP 8 : Problème du bin packing

On s'intérèsse au problème BIN-PACKING :

• Instance : un ensemble d'entiers $X = \{x_1, \ldots, x_n\}$ et une capacité $C$.
• Solution admissible : une partition de $X$ en sous-ensembles $X_1, \ldots, X_k$ telle que pour tout $i$, $\sum_{x \in X_i} x \leq C$.
• Objectif : minimiser $k$.

Autrement dit, il faut répartir les entiers de $X$ dans des boîtes de capacité $C$ de façon à minimiser le nombre de boîtes utilisées.

1. Donner une solution optimale pour l'instance suivante : $X = \{2, 5, 4, 7, 1, 3, 8\}$ et $C = 10$.

Théorie

On admet que le problème PARTITION est NP-complet :

• Instance : un ensemble d'entiers $A$.
• Question : existe-t-il une partition de $A$ en deux sous-ensembles $A_1$ et $A_2$ telle que $\sum_{x \in A_1} x = \sum_{x \in A_2} x$ ?

2. Définir le problème de décision BPD associé à BIN-PACKING.

3. Montrer que BPD est NP-complet.

Algorithme glouton

On va considérer trois algorithmes gloutons (non optimales) pour BIN-PACKING, qui considèrent les objets un par un :

• Next-fit : Lorsque le prochain objet ne tient pas dans la boîte actuelle, fermer définitivement cette boîte et mettre l'objet dans une nouvelle boîte.
• First-fit : Ajouter le prochain objet à la première boîte (c'est-à-dire la boîte la plus ancienne) dans laquelle il rentre. Si l'objet ne rentre dans aucune boîte, créer une nouvelle boîte et mettre l'objet dedans.
• First-fit decreasing : Trier les objets par ordre décroissant et appliquer l'algorithme First-fit.

4. Définir un type pour instance pour représenter une instance de BIN-PACKING, en C. Utiliser ce type pour définir l'instance donnée en question 1.

5. Définir une fonction int next_fit(instance *inst) renvoyant le nombre de boîtes utilisées par l'algorithme Next-fit en C.

6. Définir une fonction int first_fit(instance *inst) renvoyant le nombre de boîtes utilisées par l'algorithme First-fit en C.

7. Définir une fonction int first_fit_decr(instance *inst) renvoyant le nombre de boîtes utilisées par l'algorithme First-fit decreasing en C. On pourra implémenter le tri par sélection.

8. Vérifier ces trois algorithmes sur l'instance donnée en question 1.

next_fit: 5
first_fit: 4
first_fit_decr: 3

9. Écrire une fonction instance* random_instance(int n, int c) qui génère une instance aléatoire de BIN-PACKING avec $n$ objets et une capacité $c$. On utilisera srand(time(0)); pour initialiser le générateur aléatoire dans le main et rand() % c pour obtenir un entier uniformément au hasard entre 0 et c - 1.

Utiliser cette fonction pour comparer les trois algorithmes sur des instances aléatoires. On pourra aussi les comparer en temps d'exécution :

#include <time.h>
...
int t = clock();
... // exécution d'un algorithme
printf("Temps d'exécution : %f\n", (double)(clock() - t) / CLOCKS_PER_SEC);

Algorithme exact par Branch and Bound

10. Écrire une fonction récursive int branch_and_bound(instance *inst, int i, int *bins, int nb_bins, int best) qui renvoie le nombre minimum de boîtes possible pour l'instance inst. On utilisera un algorithme de Branch and Bound où i est l'indice de l'objet courant, bins est un tableau contenant le poids dans chaque boîte, nb_bins est le nombre de boîtes utilisées pour l'instant et best est le nombre minimum de boîtes trouvé jusqu'à présent. On arrêtera les appels récursifs lorsque tous les objets sont placés ou quand le nombre de boîtes utilisées dépasse best.

11. Vérifier avec l'instance suivante :

instance inst = {
    .n = 30,
    .w = {31, 18, 63, 28, 56, 1, 55, 74, 45, 10, 9, 24, 15, 61, 11, 38, 37, 71, 52, 38, 40, 26, 38, 72, 69, 96, 26, 5, 100, 78, },
    .c = 100
};
// next_fit: 18
// first_fit: 15
// first_fit_decr: 14
//branch_and_bound: 13